Номер 241, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 78, §67*

№241. В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $q = \frac{1}{3}$ . Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний:

а) наступят ровно 2 успеха; в)* наступят более 2 успехов;

б) наступит ровно 1 успех; г)* наступят менее 4 успехов.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

q = \frac{1}{3}

n = 5

Найти:

вероятности событий а)–г)

q = \frac{1}{3}

p = 1 - q = \frac{2}{3}

n = 5

;

P_{k} = C_{5}^{k} p^{k} q^{5 - k}

а)

P_{2} = 10 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{243} \approx 0, 165

б)

P_{1} = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{81} = \frac{10}{243} \approx 0, 041

в) более 2 успехов — противоположно «0, 1 или 2»,

P_{0} = \frac{1}{243}

1 - \frac{1 + 10 + 40}{243} = \frac{192}{243} \approx 0, 790

г) менее 4 — противоположно «4 или 5»,

P_{4} = \frac{80}{243}

P_{5} = \frac{32}{243}

1 - \frac{80 + 32}{243} = \frac{131}{243} \approx 0, 539

Ответ: а)

\approx 0, 165

; б)

\approx 0, 041

; в)

\approx 0, 790

; г)

\approx 0, 539

Пояснение

Идея. Формула Бернулли даёт вероятность ровно $k$ успехов. Для «более» и «менее» удобно переходить к противоположному событию, у которого меньше слагаемых (§67*).

1В условии задана вероятность неудачи, а в формулу нужен успех: $p = 1 - q = \frac{2}{3}$ . Знаменатель $3^{5} = 243$ будет общим для всех ответов.
2Для $k = 2$ и $k = 1$ подставляем числа в формулу: число цепочек $C_{5}^{k}$ , затем $p^{k}$ и $q^{5 - k}$ .
3«Более 2 успехов» — это 3, 4 или 5. Вместо трёх слагаемых вычитаем из 1 вероятности трёх значений 0, 1, 2, из которых $P_{1}$ и $P_{2}$ уже найдены.
4«Менее 4 успехов» — это 0, 1, 2, 3. Короче вычесть из 1 только два слагаемых: $P_{4}$ и $P_{5}$ .

Номер 241, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели