Номер 242, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 78, §67*

№242. В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $p = 0, 4$ . Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

а) наступит более 2 успехов; в) не все испытания окончатся неудачей;

б) наступит не более 2 неудач; г) наступит менее 4 успехов.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

n = 4

p = 0, 4

Найти:

вероятности событий а)–г)

n = 4

p = 0, 4

q = 0, 6

;

P_{k} = C_{4}^{k} p^{k} q^{4 - k}

P_{0} = 0, 6^{4} = 0, 1296

;

P_{3} = 4 \cdot 0, 4^{3} \cdot 0, 6 = 0, 1536

;

P_{4} = 0, 4^{4} = 0, 0256

а) 3 или 4 успеха:

P_{3} + P_{4} = 0, 1536 + 0, 0256 = 0, 1792

б) не более 2 неудач = не менее 2 успехов:

1 - P_{0} - P_{1}

P_{1} = 4 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6^{3} = 0, 3456; 1 - 0, 1296 - 0, 3456 = 0, 5248

в) не все неудачи:

1 - P_{0} = 1 - 0, 1296 = 0, 8704

г) менее 4 успехов:

1 - P_{4} = 1 - 0, 0256 = 0, 9744

Ответ: а) 0,1792; б) 0,5248; в) 0,8704; г) 0,9744.

Пояснение

Идея. По формуле Бернулли находим вероятности $P_{k}$ для нужных $k$ , а события вида «более», «не более», «не все» сводим к сумме или к разности с единицей (§67*).

1Считаем $P_{0}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ сразу — они нужны в нескольких пунктах. Остальное считаем по мере надобности.
2«Более 2 успехов» — значения $k = 3$ и $k = 4$ . Складываем две вероятности.
3«Не более 2 неудач» удобно перевести на язык успехов: неудач 0, 1 или 2 значит успехов 4, 3 или 2, то есть не менее 2. Тогда вычитаем из 1 случаи 0 и 1 успех.
4В пунктах в) и г) события противоположны самым простым: «все неудачи» (у них вероятность $P_{0}$ ) и «все успехи» ( $P_{4}$ ).

Частая ошибка. В б) речь о неудачах, а не об успехах: «не более 2 неудач» — не то же самое, что «не более 2 успехов».

Номер 242, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели