Номер 366 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC - равносторонний$

$O_{1} - центр вписанной окружности$

$O_{2} - центр описанной окружности$

Доказать:

$O_{1} и O_{2} совпадают$

Доказательство:

1) △ A BC равносторонний \Rightarrow A B = BC = C A

Проведём биссектрису $A A_{1}$ угла $A$ . Треугольник $A BC$ равнобедренный с основанием $BC$ , поэтому эта биссектриса — ещё и медиана, и высота:

B A_{1} = A_{1} C и A A_{1} ⊥ BC

\Rightarrow A A_{1} - серединный перпендикуляр к BC

2) так же B B_{1} - биссектриса угла B и серединный перпендикуляр к A C

3) O_{1} = A A_{1} \cap B B_{1} (точка пересечения биссектрис)

O_{2} = A A_{1} \cap B B_{1} (точка пересечения серединных перпендикуляров)

4) две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку \Rightarrow O_{1} = O_{2}

Ответ: центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают — что и требовалось доказать.