Номер 371 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№371. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $26$ см, а радиус вписанной окружности — $4$ см.

Дано:

$△ A BC, ∠ C = 9 0^{\circ}$

$A B = 26$ см

$r = 4$ см — радиус вписанной окружности

Найти:

$P_{A BC}$

Решение:

Пусть окружность касается катетов $C A$ и $CB$ в точках $K$ и $L$ , а гипотенузы $A B$ — в точке $M$ .

1) O лежит на биссектрисе угла C \Rightarrow ∠ OC K = 4 5^{\circ}

O K ⊥ C A \Rightarrow в △ O K C : ∠ O K C = 9 0^{\circ}, ∠ OC K = 4 5^{\circ}

\Rightarrow ∠ K OC = 4 5^{\circ} \Rightarrow △ O K C равнобедренный, C K = O K = r

так же C L = r

2) отрезки касательных из одной точки равны : A K = A M, B L = BM

3) C A + CB = (C K + K A) + (C L + L B) = 2 r + (A M + BM) = 2 r + A B

4) P = C A + CB + A B = 2 r + 2 A B = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 26 = 8 + 52 = 60 см

Ответ: $P = 60$ см.