Номер 369 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№369. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Дано:

$△ A BC, ∠ C = 9 0^{\circ}$

$A B - гипотенуза$

$M - середина A B$

Доказать:

$M - центр описанной окружности$

Доказательство:

1) CM - медиана к гипотенузе \Rightarrow CM = \frac{1}{2} A B

2) M - середина A B \Rightarrow M A = MB = \frac{1}{2} A B

3) M A = MB = MC = \frac{1}{2} A B

Значит, точка $M$ равноудалена от всех вершин треугольника, и окружность с центром $M$ радиуса $\frac{1}{2} A B$ проходит через $A$ , $B$ и $C$ .

\Rightarrow M - центр описанной окружности, R = \frac{1}{2} A B

Описанная окружность у треугольника единственная, поэтому других центров нет.

Ответ: центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы — что и требовалось доказать.