Номер 510 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство признаков ромба

Признак 1 (пункт а): Параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$A C ⊥ B D$ .

Доказать:

$A BC D$ — ромб.

1) По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки $BO$ и $O D$ равны.

2) Рассмотрим треугольник $△ A B D$ . Отрезок $A O$ является медианой, так как $BO = O D$ .

По условию диагонали взаимно перпендикулярны ( $A C ⊥ B D$ ), значит, $A O$ является и высотой.

Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то он равнобедренный, следовательно: $A B = A D$ .

3) Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, а мы доказали равенство смежных сторон, то все его стороны равны.

Следовательно, $A BC D$ — ромб. Ч.т.д.

Признак 2 (пункт б): Параллелограмм является ромбом, если его диагональ делит угол пополам.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$∠1 = ∠2$ (диагональ делит угол пополам).

Доказать:

$A BC D$ — ромб.

1) Так как $A BC D$ — параллелограмм, стороны $BC$ и $A D$ параллельны.

Значит, углы $∠2$ и $∠3$ равны как накрест лежащие при секущей $A C$ .

2) По условию $∠1 = ∠2$ . Следовательно, $∠1 = ∠3$ .

3) Рассмотрим треугольник $△ A BC$ . Так как два его угла равны ( $∠1 = ∠3$ ), он равнобедренный, и $A B = BC$ .

4) Мы получили параллелограмм, у которого смежные стороны равны. Значит, все его стороны равны.

Следовательно, $A BC D$ — ромб. Ч.т.д.