Номер 429 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№429. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Дано:

$△ A BC$ , $M \in A B$ , $N \in A C$

Доказать:

$MN \leq max (A B, BC, C A)$

Доказательство:

Пусть концы отрезка лежат на сторонах $A B$ и $A C$ : $M \in A B$ , $N \in A C$ . Соединим $M$ с вершиной $C$ .

Отрезок $CM$ соединяет вершину треугольника $A BC$ с точкой противоположной стороны $A B$ . По задаче 321 он не больше большей из двух других сторон:

CM \leq max (C A, CB)

Отрезок $MN$ соединяет вершину $M$ треугольника $A MC$ с точкой противоположной стороны $A C$ . По той же задаче:

MN \leq max (M A, MC)

Отрезок $M A$ — часть стороны $A B$ , поэтому $M A \leq A B$ . Объединяем:

MN \leq max (M A, MC) \leq max (A B, C A, CB)

Если один из концов отрезка — вершина, то отрезок лежит на стороне или соединяет вершину с точкой противоположной стороны, и достаточно задачи 321.

Ответ: отрезок $MN$ не больше наибольшей из сторон треугольника — что и требовалось доказать.