Номер 518 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — прямоугольник.

$M$ и $N$ — середины сторон $A D$ и $BC$ соответственно.

Доказать:

Прямая $MN$ — ось симметрии прямоугольника.

Доказательство:

Чертёж к задаче 518 — прямая через середины противоположных сторон прямоугольника

1) Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $A D = BC$ .

По условию $M$ и $N$ — середины этих сторон. Следовательно, их половинки также равны между собой:

A M = M D = BN = NC = \frac{A D}{2} .

2) Рассмотрим четырёхугольник $A BNM$ .

Его стороны $A M$ и $BN$ равны (доказано выше) и параллельны (так как лежат на параллельных сторонах прямоугольника).

Значит, четырёхугольник $A BNM$ является параллелограммом.

3) Так как угол $A$ прямоугольника $A BC D$ прямой ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ), этот параллелограмм является прямоугольником.

Следовательно, смежные с $A M$ стороны перпендикулярны ей. Значит, прямая $MN$ перпендикулярна сторонам $A D$ и $BC$ :

MN ⊥ A D, MN ⊥ BC .

4) Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $MN$ .

Поскольку прямая перпендикулярна отрезку $A D$ и проходит через его середину $M$ , точка $A$ отображается в точку $D$ , и наоборот ( $A \to D, D \to A$ ).

Аналогично, так как прямая $MN$ перпендикулярна отрезку $BC$ и проходит через его середину $N$ , точка $B$ отображается в точку $C$ , и наоборот ( $B \to C, C \to B$ ).

5) В результате все вершины прямоугольника отображаются в его же вершины, то есть весь прямоугольник $A BC D$ отображается сам на себя.

Вывод: Прямая $MN$ является осью симметрии прямоугольника. Что и требовалось доказать.

Номер 518 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели