Номер 436 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№436. Через вершину $A$ треугольника $A BC$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $A$ , а из вершины $B$ проведён перпендикуляр $B H$ к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника $BC H$ больше периметра треугольника $A BC$ .

Дано:

$△ A BC$ , $l ∋ A$ , $l ⊥$ биссектрисе угла $A$

$B H ⊥ l$ , $H \in l$

Доказать:

$P_{BC H} > P_{A BC}$

Чертёж к задаче 436 — треугольник ABC, прямая l через A, перпендикуляр BH, точка D на продолжении BA, отрезки HD и HC

Доказательство:

Продолжим сторону $B A$ за точку $A$ и отложим $A D = A C$ . Углы $B A C$ и $C A D$ смежные, а биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому прямая $l$ — биссектриса угла $C A D$ . В равнобедренном треугольнике $D A C$ биссектриса угла при вершине — серединный перпендикуляр к основанию $D C$ . Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка:

HD = H C

Точка $H$ не лежит на прямой $B D$ : эта прямая пересекает $l$ только в точке $A$ , а $H \neq = A$ , иначе сторона $A B$ лежала бы на биссектрисе угла $A$ . Значит, $B DH$ — настоящий треугольник, и по неравенству треугольника

B H + HD > B D = B A + A D = A B + A C

Заменим $HD$ на $H C$ и прибавим $BC$ к обеим частям:

B H + H C > A B + A C

BC + C H + B H > A B + BC + A C

Слева стоит периметр треугольника $BC H$ , справа — треугольника $A BC$ .

Ответ: $P_{BC H} > P_{A BC}$ — что и требовалось доказать.

Номер 436 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели