Номер 523 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ — равнобедренный ( $A B = BC$ ).

$M$ — произвольная точка на основании $A C$ .

Через $M$ проведены прямые: $M D ∥ BC$ ( $D \in A B$ ) и $ME ∥ A B$ ( $E \in BC$ ).

Доказать:

Периметр четырёхугольника $B D ME$ равен сумме боковых сторон треугольника: $P_{B D ME} = A B + BC$ .

Доказательство:

1) По условию $M D ∥ BE$ (так как прямая $BC$ содержит отрезок $BE$ ) и $ME ∥ B D$ (так как прямая $A B$ содержит отрезок $B D$ ).

Следовательно, четырёхугольник $B D ME$ — параллелограмм (по определению).

2) Так как треугольник $A BC$ равнобедренный, углы при его основании равны:

∠ A = ∠ C .

3) При пересечении параллельных прямых $M D$ и $BC$ секущей $A C$ , соответственные углы равны:

∠ A M D = ∠ C .

Отсюда следует, что $∠ A = ∠ A M D$ . Значит, треугольник $A D M$ — равнобедренный, и его стороны равны:

A D = D M .

4) Аналогично, при пересечении параллельных прямых $ME$ и $A B$ секущей $A C$ , соответственные углы равны:

∠ EMC = ∠ A .

Отсюда следует, что $∠ EMC = ∠ C$ . Значит, треугольник $MEC$ — равнобедренный, и его стороны равны:

ME = EC .

5) Запишем периметр параллелограмма $B D ME$ (сумму четырёх его сторон):

P_{B D ME} = B D + D M + ME + EB .

6) Заменим в этой сумме отрезок $D M$ на равный ему отрезок $A D$ , а отрезок $ME$ на равный ему отрезок $EC$ :

P_{B D ME} = B D + A D + EC + EB .

7) Сгруппируем отрезки:

P_{B D ME} = A B + BC .

Вывод: Периметр получившегося четырёхугольника действительно равен сумме боковых сторон данного треугольника. Что и требовалось доказать.