Номер 439 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№439. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Дано:

$△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C \neq = BC$

$C H$ — высота, $CM$ — медиана, $C D$ — биссектриса

Доказать:

$∠ MC D = ∠ D C H$

Чертёж к задаче 439 — прямоугольный треугольник ABC с высотой CH, медианой CM и биссектрисой CD

Доказательство:

Катеты неравны, поэтому один из острых углов меньше другого. Назовём вершину меньшего угла $A$ . Так как $∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}$ , получаем

∠ A < 4 5^{\circ} < ∠ B

Угол $C$ прямой, а значит (задача 427) медиана к гипотенузе равна её половине:

CM = A M = MB

Треугольник $A MC$ равнобедренный:

∠ A CM = ∠ A

В прямоугольном треугольнике $A H C$ и для биссектрисы прямого угла:

∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ A, ∠ A C D = 4 5^{\circ}

Так как $∠ A < 4 5^{\circ} < 9 0^{\circ} - ∠ A$ , лучи $CM$ , $C D$ , $C H$ идут от луча $C A$ именно в таком порядке. Поэтому

∠ MC D = ∠ A C D - ∠ A CM = 4 5^{\circ} - ∠ A

∠ D C H = ∠ A C H - ∠ A C D = (9 0^{\circ} - ∠ A) - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - ∠ A

Углы равны, то есть $C D$ делит угол между медианой и высотой пополам.

Ответ: $∠ MC D = ∠ D C H$ — что и требовалось доказать.

Номер 439 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели