Номер 441 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№441. В треугольнике $A BC$ высота $A A_{1}$ не меньше стороны $BC$ , а высота $B B_{1}$ не меньше стороны $A C$ . Докажите, что треугольник $A BC$ — равнобедренный и прямоугольный.

Дано:

$A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты треугольника $A BC$

$A A_{1} \geq BC$ , $B B_{1} \geq A C$

Доказать:

$A C = BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

Чертёж к задаче 441 — треугольник ABC и его высоты AA1 и BB1

Доказательство:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (или совпадает с ним, если треугольник вырожденный). $A C$ — гипотенуза в $△ A A_{1} C$ , а $BC$ — гипотенуза в $△ B B_{1} C$ . Вместе с условием:

A C \geq A A_{1} \geq BC

BC \geq B B_{1} \geq A C

Из первой цепочки $A C \geq BC$ , из второй $BC \geq A C$ , значит

A C = BC

Тогда в первой цепочке все неравенства обращаются в равенства, в частности $A C = A A_{1}$ . Гипотенуза равна катету, только если точка $A_{1}$ совпадает с $C$ : иначе $A C > A A_{1}$ . Значит, $A C$ — высота, $A C ⊥ BC$ :

∠ C = 9 0^{\circ}

Ответ: $A C = BC$ и $∠ C = 9 0^{\circ}$ : треугольник равнобедренный и прямоугольный — что и требовалось доказать.

Номер 441 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели