Номер 440 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№440. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Дано:

$△ A BC$ , $A M$ — медиана, $A H$ — высота

$∠ B A H = ∠ H A M = ∠ M A C$

Доказать:

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$

Чертёж к задаче 440 — треугольник ABC, высота AH, медиана AM и перпендикуляр MP к стороне AC

Доказательство:

Обозначим $∠ B A H = ∠ H A M = ∠ M A C = x$ . Надо доказать, что $3 x = 9 0^{\circ}$ . Проведём $MP ⊥ A C$ .

1) В треугольнике $A BM$ отрезок $A H$ — высота и биссектриса, значит, он и медиана: $B H = H M$ . Точка $M$ — середина $BC$ , поэтому

H M = \frac{BM}{2} = \frac{MC}{2}

2) Прямоугольные треугольники $A H M$ и $A PM$ имеют общую гипотенузу $A M$ и равные острые углы $∠ H A M = ∠ P A M = x$ , значит, равны:

MP = M H = \frac{MC}{2}

3) В прямоугольном треугольнике $MPC$ катет $MP$ равен половине гипотенузы $MC$ , поэтому противолежащий ему угол равен $3 0^{\circ}$ :

∠ C = 3 0^{\circ}

4) В прямоугольном треугольнике $A H C$ :

∠ H A C = 9 0^{\circ} - ∠ C = 6 0^{\circ} = 2 x \Rightarrow x = 3 0^{\circ}

∠ B A C = 3 x = 9 0^{\circ}

Ответ: треугольник $A BC$ прямоугольный: $∠ A = 9 0^{\circ}$ — что и требовалось доказать.

Номер 440 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели