Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 106, §26*
№177. В ящике лежат 20 синих и 20 зелёных носков. Докажите, что если наугад вынуть из ящика три носка, хотя бы два из них окажутся одного цвета.
Дано:
в ящике 20 синих и 20 зелёных носков; наугад вынимают три носка
Доказать:
доказать, что хотя бы два из трёх носков одного цвета
Докажем методом от противного.
1. Предположим, что среди трёх вынутых носков нет двух носков одного цвета. Тогда все три носка имеют разные цвета.
2. В ящике носки только двух цветов — синего и зелёного. Трёх разных цветов из двух быть не может.
3. Получили противоречие: цветов два, а разных цветов у трёх носков должно быть три.
4. Значит, наше предположение неверно, и среди трёх вынутых носков хотя бы два одного цвета. Что и требовалось доказать.
Можно проверить и перебором: цвета трёх носков — это одна из восьми комбинаций (ССС, ССЗ, СЗС, СЗЗ, ЗСС, ЗСЗ, ЗЗС, ЗЗЗ), и в каждой из них какой-то цвет повторяется.
Заметим, что то, сколько носков каждого цвета лежит в ящике (20 и 20), для доказательства не важно — нужно лишь, чтобы цветов было два (и чтобы в ящике хватало носков, чтобы вынуть три). Если вынуть всего два носка, они могут оказаться разного цвета.
Вывод: среди трёх носков всегда найдутся два одного цвета.
