Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 106, §26*
№179. Пётр Антипович разорвал газетный лист на три части. Потом взял один из кусков и разорвал его на три части. Опять взял один из кусков и разорвал на три части. Пётр Антипович может рвать газету таким образом сколь угодно много раз. Докажите, что Пётр Антипович не сможет получить в результате 100 кусков.
Дано:
один лист; каждый раз один из кусков рвут на три части
Доказать:
доказать, что 100 кусков получить нельзя
При каждом разрывании один кусок заменяется тремя, то есть число кусков увеличивается на 2:
| Сделано разрываний | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Получилось кусков | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | … |
Докажем методом от противного (как подсказывает книга).
1. Предположим, что Пётр Антипович в какой-то момент получил 100 кусков.
2. Перед последним разрыванием кусков было на 2 меньше, то есть . Перед предыдущим — . Будем двигаться назад: 100, 98, 96, …, 4, 2. Каждый раз число уменьшается на 2, поэтому все эти числа чётные.
3. Но в самом начале у Петра Антиповича был один целый лист — 1 кусок, нечётное число. Идя назад от чётного числа с шагом 2, мы никогда не получим 1: чётное число минус 2 остаётся чётным. Противоречие.
4. Значит, предположение неверно, и получить 100 кусков нельзя. Что и требовалось доказать.
Короче: в начале число кусков нечётное (1), а каждое разрывание прибавляет 2, не меняя чётности. Поэтому кусков всегда нечётное число, а 100 — чётное.
Вывод: Нет, получить 100 кусков нельзя: число кусков всегда нечётное.
