Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 106, §26*
№182. Матвей зашифровал пример на сложение с помощью числового ребуса. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры: АВ + БГ = ВЖГ. Докажите, что Матвей в чём-то ошибся.
Дано:
ребус АВ + БГ = ВЖГ: одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры
Доказать:
доказать, что Матвей ошибся (ребус не имеет решений)
Докажем методом от противного (по указанию книги). Предположим, что ошибки нет, то есть буквам можно подобрать цифры так, что пример верен.
1. Слева сложены два двузначных числа, каждое меньше 100, поэтому их сумма меньше 200. Справа трёхзначное число ВЖГ, значит, оно не меньше 100, и его первая цифра — единица. Следовательно, В = 1.
2. Подставим В = 1. Пример принимает вид А1 + БГ = 1ЖГ.
3. Посмотрим на разряд единиц: слева 1 + Г, а справа должна получиться та же цифра Г. Но сумма 1 + Г не оканчивается на Г ни при какой цифре Г: если Г от 0 до 8, то 1 + Г — однозначное число Г + 1, а оно не равно Г; а при Г = 9 получаем 9 + 1 = 10, и последняя цифра 0, а не 9. Это противоречие.
4. Значит, предположение неверно: ни при каком выборе цифр пример АВ + БГ = ВЖГ верным быть не может. Матвей в чём-то ошибся. Что и требовалось доказать.
Проверка перебором всех способов заменить пять разных букв разными цифрами (с ненулевыми первыми цифрами у всех трёх чисел) подтверждает: решений нет.
Вывод: ребус АВ + БГ = ВЖГ решений не имеет, Матвей ошибся.
