Номер 480 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

Четырёхугольник $A BC D$ .

$M \in A B, N \in BC, P \in C D, Q \in D A$ .

$A M = CP, BN = D Q, BM = D P, NC = Q A$ .

Доказать:

$A BC D$ и $MNPQ$ — параллелограммы.

Доказательство:

1. Докажем, что $A BC D$ — параллелограмм:

Сторона $A B = A M + MB$ и сторона $C D = CP + D P$ . Так как $A M = CP$ и $MB = D P$ (по условию), то $A B = C D$ .
Сторона $BC = BN + NC$ и сторона $A D = A Q + D Q$ . Так как $BN = D Q$ и $NC = A Q$ (по условию), то $BC = A D$ .

В четырёхугольнике $A BC D$ противоположные стороны попарно равны.

\Rightarrow A BC D

— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

2. Докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм:

Так как $A BC D$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C$ и $∠ B = ∠ D$ .

Рассмотрим $△ A MQ$ и $△ CPN$ :

\Rightarrow △ A MQ = △ CPN

(по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство третьих сторон: $MQ = NP$ .

Аналогично рассматриваем $△ BMN$ и $△ D PQ$ :

$BM = D P$ , $BN = D Q$ , $∠ B = ∠ D \Rightarrow △ BMN = △ D PQ \Rightarrow MN = PQ$ .

В четырёхугольнике $MNPQ$ противоположные стороны попарно равны ( $MQ = NP$ и $MN = PQ$ ).

Вывод: Следовательно, $MNPQ$ — параллелограмм. Ч.т.д.