Номер 483 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№483. На диагонали $B D$ параллелограмма $A BC D$ отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $PB = Q D$ . Докажите, что четырёхугольник $A PCQ$ — параллелограмм.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$P, Q \in B D$ .

$PB = Q D$ .

Доказать:

$A PCQ$ — параллелограмм.

Доказательство:

Чертёж к задаче 483 — Параллелограмм ABCD с внутренним параллелограммом APCQ на диагонали BD

1) В параллелограмме $A BC D$ диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому:

A O = OC и BO = O D .

2) Рассмотрим отрезки на диагонали $B D$ :

PO = BO - PB

OQ = O D - Q D

По условию $PB = Q D$ , а из пункта 1 мы знаем, что $BO = O D$ . Значит, разности этих равных отрезков также равны:

PO = OQ .

3) Рассмотрим внутренний четырёхугольник $A PCQ$ .

Его диагонали $A C$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$ . При этом:

$A O = OC$ (как части диагонали большого параллелограмма);
$PO = OQ$ (доказано в пункте 2).

Таким образом, диагонали четырёхугольника $A PCQ$ точкой пересечения делятся пополам.

Вывод: По признаку параллелограмма, $A PCQ$ — параллелограмм. Ч.т.д.

Номер 483 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели