Номер 482 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№482. Диагонали параллелограмма $A BC D$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что четырёхугольник $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , вершинами которого являются середины отрезков $O A$ , $OB$ , $OC$ и $O D$ , — параллелограмм.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$A C \cap B D = O$ .

$A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ — середины отрезков $O A, OB, OC, O D$ .

Доказать:

$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм.

Доказательство:

Чертёж к задаче 482 — Параллелограмм ABCD с внутренним параллелограммом A1B1C1D1

1) В параллелограмме $A BC D$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

O A = OC и OB = O D .

2) По условию точки $A_{1}$ и $C_{1}$ — середины равных отрезков $O A$ и $OC$ . Следовательно, их половины также равны:

O A_{1} = O C_{1} .

Аналогично, так как точки $B_{1}$ и $D_{1}$ — середины равных отрезков $OB$ и $O D$ , то:

O B_{1} = O D_{1} .

3) Рассмотрим внутренний четырёхугольник $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Его диагонали $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} D_{1}$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам (поскольку из пункта 2 мы доказали, что $O A_{1} = O C_{1}$ и $O B_{1} = O D_{1}$ ).

Вывод: По признаку (если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам), $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — параллелограмм. Ч.т.д.

Номер 482 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели