Номер 485 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ .

$M \in A B, N \in A C$ .

$A M = MB$ (т.к. $M$ — середина).

$MN ∥ BC$ .

Доказать:

$MN$ — средняя линия треугольника $A BC$ (то есть $A N = NC$ ).

Доказательство:

Чертёж к задаче 485 — Треугольник ABC, средняя линия MN, вспомогательная прямая CD параллельная AB

1) Проведём через вершину $C$ прямую $C D$ , параллельную $A B$ ( $C D ∥ A B$ ), и продлим прямую $MN$ до пересечения с ней в точке $D$ .

2) Рассмотрим четырёхугольник $BC D M$ . В нём:

$M D ∥ BC$ (по условию, так как точка $D$ лежит на продолжении $MN$ );
$MB ∥ C D$ (по нашему построению).

Следовательно, четырёхугольник $BC D M$ является параллелограммом по определению.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $MB = C D$ .

Но по условию точка $M$ — середина $A B$ , поэтому $A M = MB$ . Отсюда получаем, что:

A M = C D .

3) Рассмотрим $△ A MN$ и $△ C D N$ . В них:

$A M = C D$ (мы это только что доказали);
$∠ M A N = ∠ NC D$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A B$ и $C D$ и секущей $A C$ );
$∠ A MN = ∠ C D N$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A B$ и $C D$ и секущей $M D$ ).

\Rightarrow △ A MN = △ C D N

(по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть по второму признаку).

4) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а значит:

A N = NC .

Вывод: Точка $N$ является серединой стороны $A C$ . Поскольку отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $A BC$ , по определению он является средней линией. Ч.т.д.

Номер 485 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели