Номер 486 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№486. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Дано:

$A BC D$ — произвольный четырёхугольник.

$M, N, P, Q$ — середины его сторон.

Доказать:

$MNPQ$ — параллелограмм.

Доказательство (Теорема Вариньона):

1) Проведём диагональ $A C$ .

2) В $△ A BC$ отрезок $MN$ — средняя линия.

По свойству средней линии:

MN ∥ A C и MN = \frac{1}{2} A C .

3) Аналогично, в $△ A D C$ отрезок $QP$ — средняя линия.

Следовательно:

QP ∥ A C и QP = \frac{1}{2} A C .

4) Из п.2 и п.3 получаем, что отрезки $MN$ и $QP$ параллельны одной прямой и равны её половине, а значит:

MN ∥ QP и MN = QP .

5) Так как две противоположные стороны равны и параллельны, $MNPQ$ — параллелограмм.

Вывод: Середины сторон четырёхугольника образуют параллелограмм. Ч.т.д.