Номер 484 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ .

$A M = MB, BN = NC$ (то есть $MN$ — средняя линия).

Доказать:

$MN ∥ A C$ .

$MN = \frac{1}{2} A C$ .

Доказательство:

Чертёж к задаче 484 — Треугольник ABC со средней линией MN, продлённой до точки P

1) Продлим среднюю линию $MN$ на отрезок $NP$ , равный $MN$ . Соединим точку $P$ с точкой $C$ .

2) Рассмотрим $△ MBN$ и $△ PCN$ . В них:

$BN = NC$ (по условию, так как $N$ — середина $BC$ );
$MN = NP$ (по построению);
$∠ MNB = ∠ PNC$ (как вертикальные углы).

\Rightarrow △ MBN = △ PCN

(по первому признаку равенства треугольников).

3) Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:

MB = PC и ∠ BMN = ∠ CPN .

Углы $∠ BMN$ и $∠ CPN$ являются накрест лежащими при прямых $A B$ и $PC$ и секущей $MP$ . Раз они равны, то прямые параллельны: $A B ∥ PC$ .

4) Так как точка $M$ — середина $A B$ , то $A M = MB$ . А так как $MB = PC$ , то $A M = PC$ .

5) В четырёхугольнике $A MPC$ две противоположные стороны $A M$ и $PC$ равны и параллельны. Следовательно, $A MPC$ — параллелограмм.

6) В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Значит, вся сторона $MP$ параллельна $A C$ , а значит, и её часть — средняя линия $MN$ — параллельна $A C$ ( $MN ∥ A C$ ).

Также $MP = A C$ . А так как $MN$ составляет ровно половину от $MP$ (мы откладывали $NP = MN$ ), то:

MN = \frac{1}{2} MP \Rightarrow MN = \frac{1}{2} A C .

Вывод: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Теорема доказана. Ч.т.д.

Номер 484 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели