№513. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Дано:
— прямоугольный.
.
— биссектриса.
, .
Доказать:
— квадрат.
Доказательство:
1) Прямая параллельна катету . Так как катеты перпендикулярны (), прямая также перпендикулярна катету .
Следовательно, .
2) Аналогично, прямая параллельна катету , поэтому она перпендикулярна .
Следовательно, .
3) Так как в четырёхугольнике три угла прямые (, , ), он является прямоугольником.
4) Рассмотрим луч . По условию это биссектриса прямого угла, значит:
5) В прямоугольном треугольнике второй острый угол также равен ().
Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны: .
6) Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.
Вывод: — квадрат. Что и требовалось доказать.
