Номер 512 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Рассмотрим каждый из случаев, чтобы выяснить, является ли четырёхугольник квадратом.

Пункт а) Диагонали равны и взаимно перпендикулярны

Ответ: Нет, не обязательно.

Контрпримером является равнобедренная трапеция, высота которой равна средней линии. У такой трапеции диагонали равны (по свойству равнобедренной трапеции) и взаимно перпендикулярны. Однако она не является квадратом.

Пункт б) Диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину

Ответ: Нет, не обязательно.

1) Так как диагонали имеют общую середину (точкой пересечения делятся пополам), то такой четырёхугольник — параллелограмм.

2) Так как диагонали этого параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Ромб не обязательно является квадратом (его углы могут быть не прямыми).

Пункт в) Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину

Ответ: Да, обязательно.

1) Диагонали имеют общую середину $\Rightarrow$ четырёхугольник является параллелограммом.

2) Диагонали параллелограмма равны $\Rightarrow$ этот параллелограмм является прямоугольником.

3) Диагонали взаимно перпендикулярны $\Rightarrow$ этот прямоугольник (или параллелограмм) также является ромбом.

Четырёхугольник, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом — это квадрат.