№520. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Дано:
— выпуклый четырёхугольник.
Углы не все равны друг другу.
Доказать:
Хотя бы один из углов четырёхугольника — тупой ().
Доказательство (от противного):
1) Доказательство проведём методом от противного.
Предположим, что в этом четырёхугольнике нет ни одного тупого угла. Это значит, что каждый его угол меньше либо равен (острый или прямой):
2) Мы знаем, что сумма углов любого выпуклого четырёхугольника всегда равна :
3) Если каждое из четырёх слагаемых не превышает , то их сумма может равняться только в одном-единственном случае — когда абсолютно все четыре угла в точности равны :
4) Однако это означает, что все углы четырёхугольника равны друг другу, что прямо противоречит условию задачи!
Полученное противоречие означает, что наше изначальное предположение (о том, что тупых углов нет) было неверным.
5) Следовательно, в этом четырёхугольнике обязательно есть хотя бы один угол, градусная мера которого больше .
Вывод: Хотя бы один угол является тупым. Что и требовалось доказать.
