№615*. Через точку , лежащую на стороне треугольника , проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны и соответственно в точках и . Докажите, что треугольники и равновеликие.
Дано:
,
,
Доказать:
Доказательство:
1) Соединим точки и . Рассмотрим четырёхугольник . По условию, (так как ) и (так как ).
Следовательно, четырёхугольник — параллелограмм (по определению). Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника и . Равные фигуры имеют равные площади, поэтому:
2) Рассмотрим и . Они имеют общее основание . Высоты, проведённые из вершин и к прямой, содержащей основание , равны, так как прямые и параллельны (расстояние между параллельными прямыми везде одинаково).
Следовательно, площади этих треугольников равны:
3) Аналогично рассмотрим и . У них общее основание . Высоты, проведённые из вершин и к прямой , равны, так как прямые и параллельны.
Следовательно, площади этих треугольников тоже равны:
4) Из полученных трёх равенств площадей получаем:
Таким образом, , что и означает равновеликость треугольников и .
Ответ: Доказано.
