Номер 522 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$A D = 10 см$ (большая сторона).

$A B = 3 см$ (меньшая сторона).

$A M, D N$ — биссектрисы углов $A$ и $D$ .

Найти:

Отрезки $BM, MN$ и $NC$ , на которые биссектрисы делят сторону $BC$ .

Решение:

1) Рассмотрим биссектрису угла $A$ , назовём её $A M$ . Угол $B A M$ равен углу $M A D$ по определению биссектрисы.

А угол $M A D$ равен углу $BM A$ как накрест лежащий при параллельных прямых $A D$ и $BC$ и секущей $A M$ .

Следовательно, углы при основании треугольника $A BM$ равны ( $∠ B A M = ∠ BM A$ ).

Значит, треугольник $A BM$ — равнобедренный, и отрезок $BM$ равен стороне $A B$ :

BM = A B = 3 см .

2) Аналогично рассуждаем для биссектрисы $D N$ угла $D$ .

Она отсекает равнобедренный треугольник $D CN$ ( $∠ C D N = ∠ N D A = ∠ CN D$ ).

Поэтому отрезок $NC$ равен стороне $C D$ . Так как противоположные стороны параллелограмма равны, $C D = A B = 3 см$ . Значит:

NC = C D = 3 см .

3) Вся сторона $BC$ равна стороне $A D$ (как противоположные стороны параллелограмма):

BC = A D = 10 см .

4) Чтобы найти средний отрезок $MN$ , вычтем из общей длины стороны $BC$ длины отрезков $BM$ и $NC$ :

MN = BC - BM - NC = 10 - 3 - 3 = 4 см .

Ответ: биссектрисы делят противоположную сторону на отрезки $3 см, 4 см$ и $3 см$ .