Номер 617 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — трапеция

$A D, BC$ — основания, $A D = a, BC = b$

$MN ∥ A D$ ( $M \in A B, N \in C D$ )

$S_{MBCN} = S_{A MN D}$

Найти:

$MN$ (длину отрезка)

Решение:

1) Продлим боковые стороны трапеции $A B$ и $C D$ до пересечения в точке $P$ .

2) Полученные треугольники $△ PBC$ , $△ PMN$ и $△ P A D$ подобны друг другу, так как прямые $BC$ , $MN$ и $A D$ параллельны.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон (в данном случае — оснований). Обозначим искомую длину $MN$ за $x$ .

3) Тогда площади треугольников можно записать с использованием общего коэффициента пропорциональности $k$ :

S_{PBC} = k \cdot b^{2}

S_{PMN} = k \cdot x^{2}

S_{P A D} = k \cdot a^{2}

4) Площадь верхней трапеции $MBCN$ равна разности площадей треугольников $△ PMN$ и $△ PBC$ :

S_{MBCN} = S_{PMN} - S_{PBC} = = k x^{2} - k b^{2} = k (x^{2} - b^{2})

5) Площадь нижней трапеции $A MN D$ равна разности площадей треугольников $△ P A D$ и $△ PMN$ :

S_{A MN D} = S_{P A D} - S_{PMN} = = k a^{2} - k x^{2} = k (a^{2} - x^{2})

6) По условию задачи, эти площади равны ( $S_{MBCN} = S_{A MN D}$ ). Приравняем их:

k (x^{2} - b^{2}) = k (a^{2} - x^{2})

Сократим обе части уравнения на $k$ :

x^{2} - b^{2} = a^{2} - x^{2}

2 x^{2} = a^{2} + b^{2}

x^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

x = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

Длина отрезка $MN$ , который делит трапецию на две равновеликие, называется средним квадратичным оснований.

Ответ: $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$ .