Номер 588 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ — равнобедренный

а) $A C = 12 см, B H = 8 см$

б) $A C = 18 см, ∠ B = 12 0^{\circ}$

в) $∠ B = 9 0^{\circ}, B H = 7 см$

Найти:

$A B$ (боковая сторона)

$S$ (площадь)

Чертёж к задаче 588 — равнобедренный треугольник

Решение:

Пусть $A BC$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $A C$ . Проведём высоту $B H$ к основанию. В равнобедренном треугольнике она также является медианой и биссектрисой.

Пункт а)

По условию $A C = 12 см, B H = 8 см$ . Найдём площадь:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 см^{2}

Так как $B H$ — медиана, то $A H = \frac{A C}{2} = 6 см$ . Из прямоугольного $△ A B H$ по теореме Пифагора найдём боковую сторону:

A B = A H^{2} + B H^{2} = 6^{2} + 8^{2} = = 36 + 64 = 100 = 10 см

Пункт б)

По условию $A C = 18 см, ∠ B = 12 0^{\circ}$ . Так как $B H$ — медиана и биссектриса, то:

A H = \frac{18}{2} = 9 см, ∠ A B H = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

В прямоугольном $△ A B H$ сумма острых углов равна $9 0^{\circ}$ , значит $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Катет $B H$ , лежащий против угла в $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы $A B$ ( $A B = 2 \cdot B H$ ). По теореме Пифагора:

(2 \cdot B H)^{2} = A H^{2} + B H^{2} \Rightarrow 4 \cdot B H^{2} = 9^{2} + B H^{2}

3 \cdot B H^{2} = 81 \Rightarrow B H^{2} = 27 \Rightarrow B H = 27 = 33 см

Боковая сторона $A B = 2 \cdot 33 = 63 см$ . Найдём площадь:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 33 = 273 см^{2}

Пункт в)

Треугольник прямоугольный равнобедренный. Прямым может быть только угол, противолежащий основанию, значит $∠ B = 9 0^{\circ}$ . Углы при основании равны: $∠ A = ∠ C = \frac{18 0 ^{\circ} - 9 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}$ .

В прямоугольном $△ A B H$ острый угол $∠ A = 4 5^{\circ}$ , значит второй острый угол $∠ A B H = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . Треугольник $A B H$ — равнобедренный, поэтому $A H = B H = 7 см$ .

Так как $B H$ — медиана, основание $A C = 2 \cdot A H = 14 см$ . Площадь равна:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49 см^{2}

По теореме Пифагора из $△ A B H$ найдём боковую сторону:

A B = A H^{2} + B H^{2} = 7^{2} + 7^{2} = = 49 + 49 = 98 = 72 см

Ответ: а) 10 см, 48 см²; б) $63$ см, $273$ см²; в) $72$ см, 49 см².

Номер 588 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели