Номер 594 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№594. Основание $D$ высоты $C D$ треугольника $A BC$ лежит на стороне $A B$ , причём $A D = BC$ . Найдите $A C$ , если $A B = 3$ , а $C D = 3$ .

Дано:

$△ A BC$

$C D ⊥ A B, D \in A B$

$A D = BC$

$A B = 3, C D = 3$

Найти:

$A C$

Решение:

1) Пусть длина отрезка $A D = x$ . По условию $BC = A D$ , поэтому $BC = x$ . Так как точка $D$ лежит на отрезке $A B$ , выразим $D B$ :

D B = A B - A D = 3 - x

2) Рассмотрим прямоугольный $△ C D B$ ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора:

C D^{2} + D B^{2} = B C^{2}

(3)^{2} + (3 - x)^{2} = x^{2}

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности:

3 + (9 - 6 x + x^{2}) = x^{2}

12 - 6 x = 0 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow x = 2

Следовательно, отрезок $A D = 2$ .

3) Рассмотрим прямоугольный $△ A D C$ ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ). Найдём гипотенузу $A C$ по теореме Пифагора:

A C = A D^{2} + C D^{2} = = 2^{2} + (3)^{2} = 4 + 3 = = 7

Ответ: $7$ .