Номер 599 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$

Вписанная окружность $ω (O, r)$

а) $A B = 26 см, r = 4 см$

б) точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см

Найти:

$P_{A BC}$ (периметр) в обоих случаях

Чертёж к задаче 599 — прямоугольный треугольник со вписанной окружностью

Решение:

1) Пусть $M, K, H$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $A C, BC, A B$ соответственно, а $O$ — центр окружности. Проведём радиусы $OM, O K$ и $O H$ в точки касания. Они перпендикулярны сторонам.

2) Четырёхугольник $OMC K$ является квадратом (три угла прямые и $OM = O K = r$ ). Следовательно, отрезки $CM = C K = r$ .

3) По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки, имеем: $A M = A H$ и $B K = B H$ .

4) Запишем периметр треугольника и преобразуем его, заменив стороны суммой отрезков:

P = A C + BC + A B = (A M + r) + (B K + r) + A B

P = A H + B H + 2 r + A B = (A H + B H) + A B + 2 r

P = A B + A B + 2 r = 2 A B + 2 r

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен удвоенной гипотенузе плюс удвоенный радиус вписанной окружности.

Пункт а)

Дано: $A B = 26 см$ , $r = 4 см$ . Подставим в полученную формулу:

P = 2 \cdot 26 + 2 \cdot 4 = 52 + 8 = 60 см

Пункт б)

Точка касания $H$ делит гипотенузу $A B$ на отрезки $A H = 12 см$ и $B H = 5 см$ . Тогда гипотенуза $A B = 12 + 5 = 17 см$ . Выразим катеты:

A C = A M + CM = A H + r = 12 + r

BC = B K + C K = B H + r = 5 + r

Применим теорему Пифагора к $△ A BC$ :

(12 + r)^{2} + (5 + r)^{2} = 1 7^{2}

144 + 24 r + r^{2} + 25 + 10 r + r^{2} = 289

2 r^{2} + 34 r + 169 - 289 = 0 \Rightarrow 2 r^{2} + 34 r - 120 = 0

r^{2} + 17 r - 60 = 0

Решив квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим положительный корень $r = 3 см$ . Найдём периметр:

P = 2 A B + 2 r = 2 \cdot 17 + 2 \cdot 3 = 34 + 6 = 40 см

Ответ: а) 60 см; б) 40 см.

Номер 599 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели