Номер 605 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№605. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Дано:

$△ A BC$ — равнобедренный прямоугольный

$∠ C = 9 0^{\circ}, A C = BC$

$C D ⊥ A B$ — высота

$S_{1}$ — площадь квадрата на катете $A C$

$S_{2}$ — площадь квадрата на высоте $C D$

Доказать:

$S_{1} = 2 S_{2}$

Чертёж к задаче 605 — равнобедренный прямоугольный треугольник и высота

Доказательство:

1) В равнобедренном треугольнике $△ A BC$ высота $C D$ , проведённая к основанию (гипотенузе $A B$ ), является также медианой и биссектрисой.

2) Так как медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, то $C D = \frac{1}{2} A B = A D = B D$ . Значит, треугольник $△ A D C$ является равнобедренным прямоугольным ( $∠ D = 9 0^{\circ}, A D = C D$ ).

3) По теореме Пифагора для $△ A D C$ :

A C^{2} = A D^{2} + C D^{2}

Учитывая, что $A D = C D$ :

A C^{2} = C D^{2} + C D^{2} = 2 C D^{2}

4) Площадь квадрата, построенного на катете $A C$ , равна $S_{1} = A C^{2}$ . Площадь квадрата, построенного на высоте $C D$ , равна $S_{2} = C D^{2}$ . Отсюда получаем:

S_{1} = 2 S_{2}

Доказано.

Номер 605 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели