Номер 614 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

1) Соединим произвольную точку $M$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Отрезки $AM,BM,CM$ разбивают равносторонний $△ABC$ на три треугольника: $△AMB$, $△BMC$ и $△AMC$.

Площадь всего треугольника равна сумме их площадей:

2) Выразим площадь каждого из трёх треугольников, используя то, что все стороны большого треугольника равны $a$, а перпендикуляры из точки $M$ являются высотами:

3) Сложим полученные выражения:

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:

4) С другой стороны, площадь равностороннего треугольника $△ABC$ можно выразить через его сторону $a$ и его собственную высоту $h$:

5) Приравняем два выражения для площади $S_{ABC}$:

Разделив обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$, получим:

6) Высота $h$ равностороннего треугольника — величина постоянная для данного треугольника. Значит, и сумма $MD+ME+MF$ постоянна и не зависит от выбора точки $M$.