Номер 610 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$

$A B = a$

$A C = b$

Доказать:

$S_{m a x}$ достигается при $a ⊥ b$

Чертёж к задаче 610 — произвольный треугольник со сторонами a и b, и высотой h

Доказательство:

1) Рассмотрим произвольный треугольник $△ A BC$ , у которого $A B = a$ и $A C = b$ . Проведём высоту $C H = h$ к стороне $A B$ .

Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

2) В прямоугольном треугольнике $△ A C H$ катет $h$ не может быть больше гипотенузы $b$ (перпендикуляр короче любой наклонной). Следовательно:

h \leq b

3) Так как $h \leq b$ , то и площадь треугольника не превышает половины произведения его сторон $a$ и $b$ :

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \leq \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

4) Наибольшее значение площади ( $S_{m a x} = \frac{1}{2} ab$ ) достигается тогда и только тогда, когда $h = b$ .

5) Равенство $h = b$ (то есть катет равен гипотенузе) возможно только в том случае, если точка $H$ совпадает с точкой $A$ . А это означает, что сторона $A C$ перпендикулярна стороне $A B$ ( $a ⊥ b$ ).

Таким образом, из всех треугольников с заданными сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник.

Ответ: Доказано.

Номер 610 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели