№613*. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
Дано:
— равнобедренный
(произвольная точка на основании)
Доказать:
(не зависит от положения )
Доказательство:
1) Соединим вершину с точкой . Отрезок разбивает большой треугольник на два меньших: и . Площадь всего треугольника равна сумме их площадей:
2) Выразим площадь треугольника через основание и проведённую к нему высоту :
3) Аналогично выразим площадь треугольника через основание и высоту :
4) Подставим полученные выражения в формулу суммы площадей:
Вынесем общий множитель за скобки:
5) Выразим из этого равенства искомую сумму расстояний :
6) В полученной формуле — это площадь данного равнобедренного треугольника, а — длина его боковой стороны. Обе эти величины являются постоянными для заданного треугольника.
Следовательно, сумма расстояний также постоянна и никак не зависит от того, где именно на основании находится точка .
Ответ: Доказано.
