№730. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Дано:
, — медианы, — точка их пересечения
— площади шести треугольников
Доказать:
Доказательство:
Треугольники с равными основаниями и общей высотой имеют равные площади.
1) У треугольников и основания и общая высота из точки . Так же для точек и :
2) — медиана треугольника , поэтому :
3) Так же из :
Значит, все шесть площадей равны, а тем более попарно:
Ответ: утверждение доказано.
