Номер 732 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Через точку $B$ проведём прямую, параллельную $AD$. Она пересечёт продолжение стороны $CA$ в точке $E$.

$\angle AEB=\angle CAD$ (соответственные), $\angle ABE=\angle BAD$ (накрест лежащие), $\angle BAD=\angle CAD$. Значит, $\angle AEB=\angle ABE$ и $AE=AB$.

$△CAD\sim △CEB$ ($AD\parallel EB$):

Точно так же в треугольнике $A_1{B}_1{C}_1$ строим точку $E_1$: $A_1{E}_1=A_1{B}_1$ и $\frac{E_1{B}_1}{A_1{D}_1}=\frac{A_1{C}_1+A_1{B}_1}{A_1{C}_1}$. Так как $\frac{AC+AB}{AC}=\frac{A_1{C}_1+A_1{B}_1}{A_1{C}_1}$, то

Треугольники $AEB$ и $A_1{E}_1{B}_1$ подобны по третьему признаку, поэтому $\angle EAB=\angle E_1{A}_1{B}_1$, а смежные с ними углы $\angle BAC=\angle B_1{A}_1{C}_1$.

Итак, $\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}$ и $\angle A=\angle A_1$, значит, $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$ по второму признаку.