Номер 690 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№690. Разделите данный отрезок $A B$ на два отрезка $A X$ и $XB$ , пропорциональные данным отрезкам $P_{1} Q_{1}$ и $P_{2} Q_{2}$ .

Дано:

отрезки $A B$ , $P_{1} Q_{1}$ , $P_{2} Q_{2}$

Построить:

точку $X$ на отрезке $A B$ :

$A X : XB = P_{1} Q_{1} : P_{2} Q_{2}$

Построение:

1) Из точки $A$ проведём луч, не лежащий на прямой $A B$ .

2) Отложим на нём последовательно $A C = P_{1} Q_{1}$ и $C D = P_{2} Q_{2}$ .

3) Проведём прямую $D B$ .

4) Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $D B$ . Она пересечёт отрезок $A B$ в искомой точке $X$ .

Доказательство:

Стороны угла $A$ пересечены параллельными прямыми $CX$ и $D B$ , поэтому по задаче 663:

\frac{A X}{XB} = \frac{A C}{C D} = \frac{P _{1} Q _{1}}{P _{2} Q _{2}}

Ответ: точка $X$ , построенная по описанному плану, — искомая.