Номер 782 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Пусть окружность с центром $O_1$ касается сторон угла в точках $B_1$ и $C_1$. Прямоугольные треугольники $O{B}_1{O}_1$ и $O{C}_1{O}_1$ равны по гипотенузе $O{O}_1$ и катету $O_1{B}_1=O_1{C}_1$, поэтому $\angle B_{1}O{O}_1=\angle C_{1}O{O}_1$, т. е. центр $O_1$ лежит на биссектрисе угла $O$. Так же и центр $O_2$.

Общая касательная в точке $A$ означает, что окружности касаются друг друга в этой точке, а точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры (п. 78).

Значит, $O_1$, $O_2$ и $A$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла $O$, т. е. центры лежат на прямой $OA$.