№789. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
Дано:
— ромб, — точка пересечения диагоналей
Доказать:
в ромб можно вписать окружность
Доказательство:
Диагонали ромба точкой делятся пополам и перпендикулярны, поэтому треугольники , , , равны по двум катетам.
В равных треугольниках равны и соответствующие высоты, проведённые к сторонам ромба. Значит, расстояния от точки до всех четырёх сторон равны; обозначим их .
Окружность с центром радиуса касается каждой стороны: расстояние от центра до прямой, содержащей сторону, равно радиусу. Точки касания лежат на самих сторонах, так как это основания высот треугольников.
Значит, в любой ромб можно вписать окружность.
Ответ: утверждение доказано.
