Номер 786 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№786. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Дано:

многоугольник описан около окружности с центром $O$ радиуса $r$

$P$ — периметр, $S$ — площадь

Доказать:

$S = \frac{1}{2} P r$

Чертёж к задаче 786 — описанный пятиугольник, разбитый на треугольники с вершиной в центре вписанной окружности

Доказательство:

Соединим центр $O$ с вершинами многоугольника: он разобьётся на треугольники, основания которых — стороны $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ многоугольника.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, поэтому высота каждого такого треугольника равна $r$ :

S = \frac{1}{2} a_{1} r + \frac{1}{2} a_{2} r + \dots + \frac{1}{2} a_{n} r

S = \frac{1}{2} r (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = \frac{1}{2} P r

Ответ: утверждение доказано.

Номер 786 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели