Номер 793 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№793. В остроугольном треугольнике $A BC$ проведены высоты $A K$ , $BM$ , $CN$ , пересекающиеся в точке $H$ . Докажите, что около каждого из четырёхугольников $CM HK$ , $A M H N$ , $BN HK$ можно описать окружность.

Дано:

$△ A BC$ — остроугольный

$A K$ , $BM$ , $CN$ — высоты, $A K \cap BM \cap CN = H$

Доказать:

около $CM HK$ , $A M H N$ , $BN HK$ можно описать окружность

Чертёж к задаче 793 — остроугольный треугольник с высотами AK, BM, CN и точкой их пересечения H

Доказательство:

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ .

В четырёхугольнике $CM HK$ противоположными являются углы при вершинах $M$ и $K$ :

∠ H MC = 9 0^{\circ}, ∠ HK C = 9 0^{\circ}

∠ H MC + ∠ HK C = 18 0^{\circ}

В $A M H N$ прямые углы при вершинах $M$ и $N$ ( $BM ⊥ A C$ , $CN ⊥ A B$ ), в $BN HK$ — при вершинах $N$ и $K$ . В каждом случае сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ , поэтому около каждого из четырёхугольников можно описать окружность.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 793 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели