Номер 797 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№797. Две окружности радиусов $r$ и $R$ касаются внешним образом в точке $A$ . К ним проведена общая внешняя касательная $M K$ . а) Докажите, что $∠ K A M = 9 0^{\circ}$ ; б) найдите длину отрезка $M K$ .

Дано:

окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ радиусов $r$ и $R$

касаются внешним образом в точке $A$

$M K$ — общая внешняя касательная, $M$ и $K$ — точки касания

Доказать и найти:

а) $∠ K A M = 9 0^{\circ}$ ; б) $M K$

Чертёж к задаче 797 — две касающиеся окружности и их общая внешняя касательная MK

а)

Проведём через точку $A$ общую касательную окружностей; она пересечёт $M K$ в некоторой точке $P$ .

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

PM = P A, P K = P A

Значит, $PM = P A = P K$ , т. е. $P$ — середина $M K$ и $P A = \frac{1}{2} M K$ . Медиана треугольника $M A K$ , равная половине стороны $M K$ , означает, что $∠ K A M = 9 0^{\circ}$ .

б)

Радиусы в точки касания перпендикулярны $M K$ , поэтому $M K$ равна проекции отрезка $O_{1} O_{2}$ на прямую $M K$ . По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $O_{1} O_{2} = R + r$ и катетом $R - r$ :

M K = (R + r)^{2} - (R - r)^{2} = 4 R r = 2 R r

Ответ: а) утверждение доказано. б) $M K = 2 R r$ .

Номер 797 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели