Номер 819 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№819. Четырёхугольник $A BC D$ описан около окружности с центром $O$ . Докажите, что $∠ A O D + ∠ BOC = ∠ A OB + ∠ CO D$ .

Дано:

$A BC D$ — описанный четырёхугольник с центром вписанной окружности $O$

Доказать:

$∠ A O D + ∠ BOC = ∠ A OB + ∠ CO D$

Доказательство:

По задаче 794 точка $O$ — точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника, поэтому

∠ O A B = \frac{∠ A}{2}, ∠ OB A = \frac{∠ B}{2}

Из треугольника $A OB$ и, аналогично, из треугольника $CO D$ :

∠ A OB = 18 0^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ B}{2}, ∠ CO D = 18 0^{\circ} - \frac{∠ C + ∠ D}{2}

Сумма углов четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ , поэтому

∠ A OB + ∠ CO D = 36 0^{\circ} - \frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}

Все четыре угла при точке $O$ в сумме дают $36 0^{\circ}$ , значит,

∠ A O D + ∠ BOC = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ} = ∠ A OB + ∠ CO D

Ответ: утверждение доказано.