Номер 820 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№820. Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность и описан около окружности с центром $O$

$K$ , $L$ , $M$ , $N$ — точки касания сторон $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$

Доказать:

$K M ⊥ L N$

Чертёж к задаче 820 — четырёхугольник, вписанный в окружность и описанный около окружности, и хорды KM и LN

Доказательство:

Отрезки касательных, проведённых из вершины $B$ , равны: $B K = B L$ . Треугольник $B K L$ равнобедренный, поэтому

∠ B K L = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{∠ B}{2}

Угол между касательной $B K$ и хордой $K L$ измеряется половиной дуги $K L$ , заключённой внутри угла:

⌣ K L = 2∠ B K L = 18 0^{\circ} - ∠ B

Точно так же $⌣ MN = 18 0^{\circ} - ∠ D$ . Четырёхугольник вписан в окружность, поэтому $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ и

⌣ K L + ⌣ MN = 36 0^{\circ} - (∠ B + ∠ D) = 18 0^{\circ}

Угол между хордами $K M$ и $L N$ измеряется полусуммой дуг $K L$ и $MN$ :

\frac{1}{2} (⌣ K L + ⌣ MN) = 9 0^{\circ}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 820 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели