Номер 825 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№825. Положительные числа $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $a_{5}$ и $a_{6}$ удовлетворяют условиям $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$ . Докажите, что существует выпуклый шестиугольник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ , все углы которого равны, причём $A_{1} A_{2} = a_{1}$ , $A_{2} A_{3} = a_{2}$ , $A_{3} A_{4} = a_{3}$ , $A_{4} A_{5} = a_{4}$ , $A_{5} A_{6} = a_{5}$ и $A_{6} A_{1} = a_{6}$ .

Дано:

положительные $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$

$a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$

Доказать:

существует равноугольный шестиугольник с такими сторонами

Чертёж к задаче 825 — равносторонний треугольник со срезанными углами — равноугольный шестиугольник

Доказательство:

Из условия следует, что три числа равны:

a_{6} + a_{1} + a_{2} = a_{2} + a_{3} + a_{4} = a_{4} + a_{5} + a_{6} = p

Действительно, $a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6}$ равносильно первому равенству, а $a_{3} - a_{6} = a_{5} - a_{2}$ — второму.

Построение:

Построим равносторонний треугольник со стороной $p$ . На его сторонах отложим от вершин отрезки $a_{2}$ , $a_{4}$ и $a_{6}$ так, чтобы у каждой вершины отсекался равносторонний треугольник со стороной $a_{2}$ , $a_{4}$ или $a_{6}$ .

Оставшийся шестиугольник имеет стороны $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$ : на каждой стороне большого треугольника остаётся отрезок длины $p$ минус два отложенных отрезка.

Каждый угол шестиугольника равен $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , то есть все углы равны, а шестиугольник выпуклый.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 825 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели