Номер 822 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№822. Около треугольника $A BC$ описана окружность. Биссектрисы его углов $A$ , $B$ и $C$ пересекают эту окружность в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ . Докажите, что прямые $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ содержат высоты треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Дано:

$△ A BC$ вписан в окружность

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — биссектрисы, $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — на окружности

Доказать:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ содержат высоты $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чертёж к задаче 822 — треугольник ABC, его биссектрисы и треугольник A₁B₁C₁ на описанной окружности

Доказательство:

Обозначим углы треугольника $∠ A, ∠ B, ∠ C$ . Дуги, на которые точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность, равны удвоенным противолежащим углам:

⌣ BC = 2∠ A, ⌣ C A = 2∠ B, ⌣ A B = 2∠ C

Биссектриса угла $A$ делит дугу $BC$ пополам, поэтому $A_{1}$ — середина дуги $BC$ ; так же $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины дуг $C A$ и $A B$ .

Хорды $A A_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ пересекаются внутри окружности. Угол между ними равен полусумме дуг $A C_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ :

⌣ A C_{1} = ∠ C, ⌣ A_{1} B_{1} = ∠ A + ∠ B

\frac{1}{2} (∠ C + ∠ A + ∠ B) = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}

Значит, $A A_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ , т. е. прямая $A A_{1}$ содержит высоту треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ , проведённую из вершины $A_{1}$ . Так же для $B B_{1}$ и $C C_{1}$ .

Ответ: утверждение доказано.

Номер 822 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели