Номер 821 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№821. В окружность вписан четырёхугольник $A BC D$ . Точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ являются серединами дуг $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$ . Докажите, что прямые $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} D_{1}$ перпендикулярны.

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность

$A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ — середины дуг $A B, BC, C D, D A$

Доказать:

$A_{1} C_{1} ⊥ B_{1} D_{1}$

Чертёж к задаче 821 — вписанный четырёхугольник ABCD и хорды A₁C₁ и B₁D₁ через середины дуг

Доказательство:

Точка $A_{1}$ делит дугу $A B$ пополам, точка $B_{1}$ — дугу $BC$ , поэтому

⌣ A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} ⌣ A B + \frac{1}{2} ⌣ BC

Аналогично

⌣ C_{1} D_{1} = \frac{1}{2} ⌣ C D + \frac{1}{2} ⌣ D A

Сумма всех четырёх дуг окружности равна $36 0^{\circ}$ , значит,

⌣ A_{1} B_{1} + ⌣ C_{1} D_{1} = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Угол между хордами $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} D_{1}$ измеряется полусуммой дуг $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$ :

\frac{1}{2} (⌣ A_{1} B_{1} + ⌣ C_{1} D_{1}) = 9 0^{\circ}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 821 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели