Номер 823 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№823. Прямые $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ , содержащие высоты остроугольного треугольника $A BC$ , пересекают описанную окружность в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ . Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Дано:

$△ A BC$ — остроугольный, вписан в окружность

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — прямые, содержащие высоты

Доказать:

эти прямые содержат биссектрисы $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чертёж к задаче 823 — остроугольный треугольник ABC, его высоты и треугольник A₁B₁C₁ на описанной окружности

Доказательство:

Высота $B B_{1}$ перпендикулярна $A C$ , поэтому из прямоугольного треугольника с вершиной $B$ :

∠ A B B_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ A

Это вписанный угол, опирающийся на дугу $A B_{1}$ , значит,

⌣ A B_{1} = 2∠ A B B_{1} = 18 0^{\circ} - 2∠ A

Так же высота $C C_{1}$ перпендикулярна $A B$ , поэтому $∠ A C C_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ A$ и

⌣ A C_{1} = 18 0^{\circ} - 2∠ A

Дуги $A B_{1}$ и $A C_{1}$ равны, а вписанные углы $B_{1} A_{1} A$ и $A A_{1} C_{1}$ опираются на эти равные дуги, значит, они равны:

∠ B_{1} A_{1} A = ∠ A A_{1} C_{1}

Значит, прямая $A A_{1}$ делит угол $B_{1} A_{1} C_{1}$ пополам — содержит биссектрису треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Так же для $B B_{1}$ и $C C_{1}$ .

Ответ: утверждение доказано.

Номер 823 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели