Номер 824 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ — выпуклый шестиугольник, все углы равны

$A_{1} A_{2} = a_{1}, A_{2} A_{3} = a_{2}, \dots, A_{6} A_{1} = a_{6}$

Доказать:

$a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$

Чертёж к задаче 824 — равноугольный шестиугольник и равносторонний треугольник, образованный продолжениями его сторон

Доказательство:

Сумма углов выпуклого шестиугольника равна $(6 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 72 0^{\circ}$ , а все углы равны, поэтому каждый угол равен $12 0^{\circ}$ .

Продолжим стороны $A_{1} A_{2}$ , $A_{3} A_{4}$ и $A_{5} A_{6}$ до взаимного пересечения. Внешние углы шестиугольника равны $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ , поэтому в каждом отсечённом треугольнике два угла равны $6 0^{\circ}$ — эти треугольники равносторонние, а большой треугольник тоже равносторонний.

Стороны отсечённых треугольников равны $a_{2}$ , $a_{4}$ и $a_{6}$ , поэтому стороны большого треугольника равны

a_{6} + a_{1} + a_{2}, a_{2} + a_{3} + a_{4}, a_{4} + a_{5} + a_{6}

Приравняем их:

a_{6} + a_{1} + a_{2} = a_{2} + a_{3} + a_{4} \Rightarrow a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6}

a_{2} + a_{3} + a_{4} = a_{4} + a_{5} + a_{6} \Rightarrow a_{3} - a_{6} = a_{5} - a_{2}

a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 824 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели